Морозов родился в деревне Савёлово Кимрского района Тверской области в семье рабочего-сапожника. В 1931 году семья переехала в Ленинград. В годы Великой Отечественной войны он пережил первую блокадную зиму, потерял сестру, умершую от голода, и отца, погибшего в ополчении. В 1942 году вместе с матерью был эвакуирован, после войны вернулся в Ленинград и в 1950 году окончил среднюю школу.
В том же году Морозов поступил на военную службу. Окончил Высшее военно-морское инженерное училище имени Ф. Э. Дзержинского (четыре курса), затем Севастопольское высшее военно-морское инженерное училище подводного плавания, которое завершил в 1956 году. Службу начинал на большой океанской подводной лодке, прошёл путь от командира моторной группы до командира электромеханической боевой части.
В апреле 1959 года Морозов участвовал в первом в Военно-Морском Флоте СССР многодневном подлёдном плавании в районе Северного Ледовитого океана.
В 1966 году Морозов вошёл в экипаж атомной подводной лодки «К-133», участвовавшей в первом в истории трансокеанском переходе с Северного флота на Тихоокеанский. Переход проходил без всплытия в надводное положение южным маршрутом — через Атлантику, пролив Дрейка и Тихий океан. За успешное выполнение задания и проявленные мужество и героизм Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 мая 1966 года инженер-капитану 2-го ранга Ивану Морозову присвоено звание Героя Советского Союза.
В 1971 году Морозов окончил кораблестроительный факультет Военно-морской академии, получил звание капитана 1-го ранга. Служил главным инженером — заместителем начальника Технического управления Балтийского флота, затем находился в зарубежной командировке в Анголе, позже занимал должность начальника группы испытателей Военного представительства МО СССР в Ленинграде.
Скончался Иван Фёдорович Морозов 4 февраля 2014 года в Санкт-Петербурге.