С морем Кононович связал жизнь в 1930 году. Начинал матросом и плотником, участвовал в гидрографических экспедициях на Чукотке. В 1937 году окончил Владивостокский морской техникум. В 1940 году Кононович принял под командование линейный буксир «Чкалов» на Енисее.
В годы войны работал в Арктике: был капитаном, возглавлял судоподъёмную экспедицию, отвечал за отстой флота Норильскстроя.
В 1947–1949 годах Кононович руководил перегоном судов Северным морским путём из Финляндии в Дудинку. Затем ходил старшим помощником на ледоколе «Ермак». С 1958 года стал капитаном-наставником Мурманского морского пароходства и начальником Штаба морских операций Западного района Арктики.
Кононович участвовал в арктических и антарктических экспедициях. Был капитаном-наставником атомного ледокола «Ленин», участвовал в высадке дрейфующей станции «Северный полюс-10». В 1961 году получил высшее морское образование в Ленинградском высшем инженерном морском училище имени Макарова.
Он обладал литературным талантом: автор книг «История „Ермака“» и «Законы моря». В 2013 году вышли его воспоминания «Моя жизнь».
Георгий Осипович Кононович трагически погиб 15 сентября 1995 года. Согласно его последней воле, урна с прахом была предана морю у Лофотенских островов. Именем капитана назван танкер Мурманского морского пароходства.